Normale waarschijnlijkheidscurve: berekeningen, kenmerken en toepassingen

Lees dit artikel om meer te weten te komen over de berekening, kenmerken en toepassingen van normale kanscurve in statistieken.

Berekening van de normale waarschijnlijkheidsgrafiek:

Als een munt onbevooroordeeld wordt gegooid, valt deze op kop (H) of staart (T). Dit de kans om een ​​hoofd te zien is één kans in twee. Dus de waarschijnlijkheidsratio van H is ½ en T is ½.

Evenzo zullen we twee munten gooien, munt x en munt y er zijn vier mogelijke manieren om te vallen.

Dus de vier mogelijke manieren zijn - zowel x als y kunnen vallen H, x kan vallen T en y H, x kan vallen H en yT of beide kunnen vallen T.

Uitgedrukt in verhoudingen

Waarschijnlijkheid van twee hoofden = ¼

Waarschijnlijkheid van twee staarten = ¼

Waarschijnlijkheid van één H en één T = ¼

Waarschijnlijkheid van één T en één H = ¼

De verhouding is dus ¼ + ½ + ¼ = 1, 00

Het verwachte uiterlijk van koppen en staarten van twee munten kan worden uitgedrukt als:

(H + T) ² = H2 + 2HT + T2

Als we het aantal munten tot drie verhogen, bijvoorbeeld x, y en Z, kunnen er acht mogelijke regelingen zijn.

Het verwachte uiterlijk van koppen en staarten van munten kan worden uitgedrukt als:

Op deze manier kunnen we de waarschijnlijkheid bepalen van verschillende combinaties van koppen en staarten van een willekeurig aantal munten. We kunnen de waarschijnlijkheid van een willekeurig aantal munten verkrijgen door binomiale expansie. Een uitdrukking die twee termen bevat, wordt een binomiale uitdrukking genoemd. Binomiaal stelling is een algebraïsche formule die de kracht van een binomiale uitdrukking in de vorm van een reeks uitbreidt.

De formule luidt als volgt:

(H + T) ⁿ = C (n, 0) H ⁿ + C (n, 1) H ^n-1 T + C (n, 2) H ^{( n-2)} T ² ....

... + C (n, r) H ^nr T ^r + .... + C (n, n) T ⁿ ... (11.1)

Waar C = mogelijke combinaties.

C (n, r) = n! / R! (n - r)!

n! betekent 1 x 2 x 3 x .... xn

n = Totaal aantal waarnemingen of personen.

r = aantal observaties of personen die tegelijkertijd zijn genomen.

Dus binomiale uitbreiding van

Als de bovenstaande gegevens in een grafiek als histogram en frequentiepolygoon worden weergegeven, dan is dit zoals hieronder (fig. 11.1)

Dus de figuur die we verkregen uit het gooien van 10 munten (H + T) ¹⁰ is een symmetrische veelzijdige veelhoek.

En als we doorgaan met het verhogen van het aantal munten, zou bij elke toename de veelhoek een perfect gladde oppervlaktelijn hebben zoals figuur 11.2 hieronder:

Deze klokvormige curve wordt de 'normale kanscurve' genoemd. De "grafiek van de kansdichtheidsfunctie van de normale verdeling is dus een continue klokvormige curve, symmetrisch ten opzichte van het gemiddelde" wordt de normale kanscurve genoemd.

In statistieken is het belangrijk omdat:

(а) Het is de verdeling van veel van nature voorkomende variabelen, zoals intelligentie van 8e klas studenten, hoogte van de 10e klas studenten enz.

(b) De verdeling van de gemiddelden van de monsters van de meeste ouderpopulaties is normaal of ongeveer wanneer de monsters voldoende groot zijn.

Daarom heeft normale curve grote betekenis in sociale wetenschappen en gedragswetenschappen. Bij gedragsmetingen benaderen de meeste aspecten de normale verdeling. Zodoende wordt die normale waarschijnlijkheidsgrafiek of in de volksmond bekend als NPC gebruikt als een referentiecurve. Om de bruikbaarheid van de NPC te begrijpen, moeten we de eigenschappen van de NPC begrijpen.

Kenmerken van de curve Normale waarschijnlijkheid:

Enkele van de belangrijkste kenmerken van de normale kanscurve zijn als volgt:

1. De curve is bilateraal symmetrisch.

De curve is symmetrisch ten opzichte van de ordinaat van het centrale punt van de curve. Dit betekent dat de grootte, vorm en helling van de curve aan één kant van de curve identiek is aan de andere kant van de curve. Als de curve wordt gehalveerd, komt de rechterkant ervan volledig overeen met de linkerkant.

2. De curve is asymptotisch:

De normale kanscurve nadert de horizontale as en loopt van -∞ tot +∞. Betekent dat de uiteinden van de curve de basislijn raken, maar nooit raken.

Het is afgebeeld in figuur (11.3) hieronder:

3. De gemiddelde, mediaan en modus:

De gemiddelde, mediaan en modus vallen op het middelste punt en ze zijn numeriek gelijk.

4. De buigpunten doen zich voor bij ± 1 standaardafwijkingseenheid:

De instromingspunten in een NPC komen voor op ± 1σ tot eenheid boven en onder het gemiddelde. Op dit punt verandert de curve van convex naar concaaf ten opzichte van de horizontale as.

5. Het totale oppervlak van NPC is verdeeld in ± standaarddeviaties:

Het totaal van NPC is verdeeld in zes standaarddeviatie-eenheden. Vanuit het centrum is het onderverdeeld in drie + ve 'standaardafwijkingseenheden en drie - v' standaardafwijkingseenheden.

Zo omvat ± 3σ van NPC een verschillend aantal gevallen afzonderlijk. Tussen ± 1σ liggen de middelste 2 / 3e gevallen of 68.26%, tussen ± 2σ liggen 95, 44% gevallen en tussen ± 3σ liggen 99, 73% gevallen en voorbij + 3σ vallen slechts 0, 37% gevallen.

6. De Y-as vertegenwoordigt de hoogte van de normale kanscurve:

De Y-ordinaat van de NPC vertegenwoordigt de hoogte van de curve. In het midden vindt de maximale ordinaat plaats. De hoogte van de curve op het gemiddelde of middelpunt wordt Y _{0 genoemd} .

Om de hoogte van de curve op elk moment te bepalen, gebruiken we de volgende formule:

7. Het is unimodaal:

De curve heeft slechts één piekpunt. Omdat de maximale frequentie slechts op één punt optreedt.

8. De hoogte van de curve neemt symmetrisch af:

De hoogte van de curve neemt af naar beide richtingen symmetrisch ten opzichte van het centrale punt. Betekent dat de M + σ en M - σ gelijk zijn als de afstand tot het gemiddelde gelijk is.

9. Het gemiddelde van NPC is μ en de standaarddeviatie is σ:

Omdat het gemiddelde van de NPC het populatiegemiddelde vertegenwoordigt, wordt het dus gerepresenteerd door de μ (Meu). De standaardafwijking van de curve wordt weergegeven door de Griekse letter, σ.

10. In de Normale Kansberekening is de standaarddeviatie 50% groter dan de Q:

In NPC wordt de Q in het algemeen de waarschijnlijke fout of PE genoemd.

De relatie tussen PE en a kan als volgt worden weergegeven:

1 PE = .6745σ

1σ = 1.4826PE.

11. Q kan als meeteenheid worden gebruikt bij het bepalen van het gebied binnen een bepaald onderdeel:

12. De gemiddelde afwijking van het gemiddelde van NPC is .798σ:

Er is een constante relatie tussen standaarddeviatie en gemiddelde afwijking in een NPC.

13. De ordinaat van het model varieert in toenemende mate met de standaarddeviatie:

In een normale kanscurve varieert de modale ordinaat in toenemende mate tot de standaarddeviatie. De standaarddeviatie van de Normale Kansbereiking neemt toe, de modale ordinaat neemt af en omgekeerd.

Toepassingen van de Normale Kansberekening:

Enkele van de belangrijkste toepassingen van normale kanscurve zijn als volgt:

De principes van de Normale Kansberekening worden toegepast in de gedragswetenschappen op veel verschillende gebieden.

1. NPC wordt gebruikt om het percentage gevallen in een normale verdeling binnen bepaalde limieten te bepalen:

De normale kanscurve helpt ons om te bepalen:

ik. Welk percentage gevallen valt tussen twee scores van een verdeling.

ii. Welk percentage scoort boven een bepaalde score van een verdeling.

iii. Welk percentage scoort onder een bepaalde score van een verdeling.

Voorbeeld:

Gegeven een verdeling van scores met een gemiddelde van 24 en σ van 8. Uitgaande van normaliteit zal het percentage van de gevallen tussen 16 en 32 liggen.

Oplossing:

Hier moeten we eerst de scores 16 en 32 omzetten naar een standaardscore.

Invoerend aan de Tabel A, het tabelgebied onder NPC, is gevonden dat 34.13 gevallen vallen tussen het gemiddelde en - 1σ en 34.13 gevallen vallen tussen het gemiddelde en + 1σ. Dus ± σ dekt 68, 26% van de gevallen. Zodat 68, 25% gevallen tussen 16 en 32 zullen vallen.

Voorbeeld:

Gegeven een verdeling van scores met een gemiddelde van 40 en σ van 8. Uitgaande van normaliteit zal het percentage van de gevallen boven en onder de score 36 liggen.

Oplossing:

Allereerst moeten we de onbewerkte score 36 omzetten in een standaardscore.

In tabel A van het tabelgebied onder de NPC wordt gevonden dat 19.15% gevallen vallen tussen Mean en -.5σ. Daarom is het totale percentage gevallen boven de score 36 50 + 19, 15 = 69, 15% en onder de score 36 is 50-19, 15 = 30, 85%. Dus in de distributie bevinden 69, 15% van de gevallen zich boven de score van 36 en liggen de scores van 30, 85% onder de score 36.

2. NPC wordt gebruikt om de waarde te bepalen van een score waarvan de percentielrang wordt gegeven:

Door de NPC-tabel te gebruiken, kunnen we de onbewerkte score van het individu bepalen als de percentielrang wordt gegeven.

Voorbeeld:

In een verdeling van scores van een doss Pink's percentielrang in statistieken is 65. Het gemiddelde van de verdeling is 55 met een standaardafwijking van 10. Zoek maar de onbewerkte score van Pinky in Statistieken.

Oplossing:

Omdat de percentielrang van Pinky 65 is, is haar positie in een normale verdeling 35% boven het gemiddelde. Door in te voeren in de tabel 'A' vonden we dat 35% van het gemiddelde + 1, 04 σ is.

Door de waarde in de 'Z'-score te zetten.

3. NPC wordt gebruikt om de limieten in een normale verdeling te vinden die een bepaald percentage van de gevallen omvatten:

Wanneer een distributie normaal wordt gedistribueerd en wat we weten over de verdeling is Mean en de standaarddeviatie op dat moment door het tabelgebied onder NPC te gebruiken, kunnen we de limieten bepalen die een bepaald percentage van de gevallen omvatten.

Voorbeeld:

Gegeven een verdeling van scores met een gemiddelde van 20 en σ van 5. Als we uitgaan van normaliteit, zullen die limieten de middelste 75% van de gevallen omvatten.

Oplossing:

Bij een normale verdeling omvatten de middelste 75% gevallen 37, 5% gevallen boven het gemiddelde en 37, 5% gevallen onder het gemiddelde. Uit tabel A kunnen we opmaken dat 37, 5% van de gevallen betrekking heeft op 1, 15 σ-eenheden. Daarom liggen de middelste 75% gevallen tussen gemiddelde en ± 1, 15 σ eenheden.

In deze verdeling bevat 75% van de gevallen de limieten tussen 14.25 en 25.75.

4. Het wordt gebruikt om twee distributies te vergelijken in termen van overlapping:

Als scores van twee groepen op een bepaalde variabele normaal worden verdeeld. Wat we weten over de groep is het gemiddelde en de standaarddeviatie van beide groepen. En we willen weten in hoeverre de eerste groep de tweede groep overlapt of omgekeerd. Op dat moment kunnen we dit bepalen door het tabelgebied onder NPC te gebruiken.

5. NPC helpt ons bij het verdelen van een groep in subgroepen volgens bepaalde bekwaamheid en het toewijzen van de cijfers:

Wanneer we een grote groep willen indelen in bepaalde subgroepen volgens een bepaald vermogen op dat moment, gebruiken we de standaarddeviatie-eenheden van een NPC als schaaleenheden.

Voorbeeld:

Een prestatietest werd afgenomen bij de 600 8e klas studenten. De docent wil deze studenten toewijzen aan 4 cijfers, namelijk A, B, C en D op basis van hun prestaties in de test. Uitgaande van de normaliteit van de verdeling van scores, kan het aantal studenten in elke groep worden geplaatst.

Oplossing:

Het gebied onder een NPC is verdeeld in ± 3σ-eenheden of 6σ-eenheden.

Hier moeten we de studenten onderverdelen in 4 secties.

Dus elke sectie heeft

Dus als we de sectie in volgorde van verdienste zullen verdelen.

De sectie A zal binnen 1.5σ tot 3σ zijn

Sectie B zal binnen Gemiddeld tot 1, 5σ zijn

Sectie C zal binnen Gemiddeld tot -1, 5σ zijn

en Sectie D zal zijn met in -1.5σ tot - 3σ.

6. NPC helpt om de relatieve moeilijkheid van testitems of problemen te bepalen:

Als bekend is welk percentage studenten een probleem met succes heeft opgelost, kunnen we de moeilijkheidsgraad van het item of probleem bepalen door het tabelgebied onder NPC te gebruiken.

7. NPC is nuttig om een ​​frequentieverdeling te normaliseren:

Voor het normaliseren van een frequentieverdeling gebruiken we de Normale Kansberekening. Voor het standaardiseren van een psychologische test is dit proces zeer noodzakelijk.

8. Om de significantie van observaties van experimenten te testen gebruiken we NPC:

In een experiment testen we de relatie tussen variabelen of deze te wijten zijn aan toevalsfluctuaties of fouten in de bemonsteringsprocedure of het is een echte relatie. Dit gebeurt met behulp van het tabelgebied onder NPC.

9. NPC wordt gebruikt voor het generaliseren van de populatie uit de steekproef:

We berekenen de standaardfout van gemiddelde, standaardfout van standaardafwijking en andere statistische gegevens om te generaliseren over de populatie waaruit de steekproef is getrokken. Voor deze berekening gebruiken we het tabelgebied onder NPC.