Centrale Tendens: betekenis, gebruik en maatregelen

Centrale Tendens: betekenis, gebruik en maatregelen!

Betekenis van Centrale Tendens:

Maatregelen van centrale tendens zijn een combinatie van twee woorden, dwz 'maat' en 'centrale tendens'. Maatregel betekent methoden en centrale tendentie betekent gemiddelde waarde van elke statistische reeks. We kunnen dus stellen dat centrale tendentie de methoden betekent om de centrale waarde of gemiddelde waarde van een statistische reeks kwantitatieve informatie te achterhalen.

JP Guilford heeft opgemerkt dat "een gemiddelde een centrale waarde is van een groep waarnemingen of individuen."

Volgens Clark is 'Gemiddeld een poging om één enkele figuur te vinden om een ​​geheel figuur te beschrijven'.

In de woorden van AE Waugh "Een gemiddelde is een enkele waarde geselecteerd uit een groep waarden om ze op dezelfde manier weer te geven - een waarde die hoort te staan ​​voor de hele groep waarvan hij deel uitmaakt, zoals typerend voor alle waarden in de groep."

Dus kan worden gezegd dat een gemiddelde of centrale tendens een enkele figuur is die wordt berekend uit een gegeven verdeling om een ​​centraal idee over de hele reeks te geven. De waarde van het gemiddelde ligt binnen de maximale en minimale waarde in de reeks.

Gebruik van centrale tendens:

De centrale tendens is nodig om de volgende redenen:

1. Gemiddelde geeft het algehele beeld van de serie. We kunnen ons niet alle feiten herinneren die betrekking hebben op een onderzoeksveld.

2. Gemiddelde waarde geeft een duidelijk beeld van het bestudeerde veld voor begeleiding en noodzakelijke conclusie.

3. Het geeft een beknopte beschrijving van de prestaties van de groep als geheel en het stelt ons in staat om twee of meer groepen te vergelijken in termen van typische prestaties.

Maatregelen van centrale aanleg:

Er zijn drie maatregelen van centrale tendens, zoals:

(1) Het rekenkundig gemiddelde.

(2) De mediaan en

(3) De modus.

(1) Het gemiddelde (M):

Voor een gewone man betekent gemiddelde het rekenkundig gemiddelde. Het wordt het meest gebruikt vanwege zijn eenvoud, stijfheid enz.

Een rekenkundig gemiddelde wordt gedefinieerd als het "quotiënt dat wordt verkregen door het totaal van de waarden van een variabele te delen door het totale aantal waarnemingen of items."

II.E. Garett (1985 P) definieert "Het rekenkundig gemiddelde of eenvoudiger gezegd het gemiddelde is de som van de afzonderlijke scores of maten gedeeld door hun aantal."

Methoden voor het berekenen van het gemiddelde:

Er zijn verschillende methoden om het gemiddelde te berekenen. Maar hier zullen we slechts twee methoden bespreken.

Ze zijn als volgt:

1. Directe methode of Lange methode.

2. Korte methode of Aangenomen gemiddelde methode.

1. Directe methode of lange methode:

Bij deze methode wordt het gemiddelde direct uit de gegeven reeks berekend. In deze methode kunnen we gemiddelde berekenen uit de niet-gegroepeerde gegevens en de formule voor het berekenen van gemiddelden uit niet-gegroepeerde gegevens.

De formule voor het berekenen van gemiddelde uit niet-gegroepeerde gegevens is:

Uit de gegroepeerde gegevens wordt het gemiddelde berekend met de volgende formule:

Illustratie:

Bereken het gemiddelde van de volgende frequentieverdelingen volgens de directe methode:

2. Korte methode of aangenomen gemiddelde methode:

Het is bekend als veronderstelde gemiddelde methode omdat in plaats van het berekenen van gemiddelden uit de middelpunten het aangenomen gemiddelde wordt verondersteld het gemiddelde te achterhalen. Eerst 'raden' of veronderstellen we een gemiddelde en dan passen we een correctie toe op deze veronderstelde waarde om de exacte waarde te vinden.

De formule om het gemiddelde te vinden in de veronderstelde gemiddelde methode wordt hieronder gegeven:

Hieronder worden de stappen besproken om het gemiddelde in de korte methode te berekenen:

Stap 1:

Veronderstel een willekeurig middelpunt van de verdeling als gemiddelde. Maar het beste plan is om halverwege een interval in de buurt van het centrum te gaan dat de grootste frequentie heeft.

Stap 2:

Ontdek de x 'kolom, x' is de afwijking tussen de score en het veronderstelde gemiddelde.

Hier kunnen we x 'vinden met behulp van de volgende formule:

Stap 3:

Ontdek fx kolom. Het wordt ontdekt door kolom f met x 'kolom te vermenigvuldigen.

Stap 4:

Ontdek Σ f x. Voeg alle positieve waarden en negatieve waarden afzonderlijk toe. Zoek dan de algebraïsche som op die Σ fx is .

Stap 5:

Ontdek het gemiddelde met behulp van formule 9.4.

Illustratie:

Ontdek het gemiddelde van de verdeling in veronderstelde gemiddelde methode.

In een toets van de wiskunde zijn de cijfers van de 50 studenten gepresenteerd in de volgende verdeling:

Hier hebben we 44, 5 het middelpunt van Ci 40-49 als aangenomen gemiddelde genomen. Nu kunnen we mean uitvinden met behulp van formule-8.4.

Gecombineerde gemiddelde:

De afzonderlijke middelen van een aantal verschillende reeksen kunnen het gecombineerde rekenkundig gemiddelde van alle verschillende reeksen produceren wanneer het aantal items in elk van deze reeksen wordt gegeven. Dit wordt berekend met de volgende formule wanneer het aantal groepen n is.

Illustratie:

Hieronder wordt het gemiddelde gegeven van VI-klasstudenten van 4 scholen. Wat is het gemiddelde van VI-klasstudenten in het algemeen.

Gecombineerd gemiddelde kunnen we achterhalen door formule 9.5 toe te passen:

Dus het gemiddelde van alle VI-klasstudenten is 55.25.

Gebruik van Mean:

Er zijn bepaalde algemene regels voor het gebruik van het gemiddelde. Sommige van deze toepassingen zijn als volgt:

1. Gemiddelde is het zwaartepunt in de verdeling en elke score draagt ​​bij tot de bepaling ervan wanneer de spreiding van de scores symmetrisch rond een centraal punt ligt.

2. Gemiddelde is stabieler dan de mediaan en modus. Zodat wanneer de maat van de centrale neiging met de grootste stabiliteit gewenst is, het gemiddelde wordt gebruikt.

3. Gemiddelde wordt gebruikt om andere statistieken te berekenen, zoals SD, correlatiecoëfficiënt, ANOVA, ANCOVA etc.

Verdiensten van gemiddelde:

1. Het gemiddelde is rigide gedefinieerd, zodat er geen sprake is van misverstanden over de betekenis en de aard ervan.

2. Het is de meest populaire centrale tendens omdat het gemakkelijk te begrijpen is.

3. Het is gemakkelijk te berekenen.

4. Het bevat alle scores van een verdeling.

5. Het wordt niet beïnvloed door bemonstering, zodat het resultaat betrouwbaar is.

6. Gemiddelde is in staat tot verdere algebraïsche behandeling, zodat verschillende andere statistieken, zoals spreiding, correlatie, skew-heid, een gemiddelde voor berekening vereisen.

Demerits of Mean:

1. Gemiddelde wordt beïnvloed door extreme scores.

2. Soms is gemiddelde een waarde die niet in de reeks voorkomt.

3. Soms geeft het absurde waarden. Er zijn bijvoorbeeld 41, 44 en 42 studenten in de klassen VIII, IX en X van een school. Dus de gemiddelde studenten per klas zijn 42, 33. Het is nooit mogelijk.

4. In het geval van klassen met open einde klassen, kan deze niet worden berekend zonder de omvang van de open eindklassen te veronderstellen.

(2) Mediaan:

Mediaan is een andere maat voor centrale tendens. Het is een positiemodel omdat de waarde ervan wordt bepaald aan de hand van de positie in de waardekolom van een reeks. In het Collins-woordenboek voor statistieken wordt het gedefinieerd als "de middelste waarde in een verdeling, hieronder en daarboven liggen waarden met gelijke totale frequenties of waarschijnlijkheden."

D. Patri (1996) definieert mediaan "als de waarde van het middelste item van een serie gerangschikt in oplopende of aflopende volgorde. Als zodanig verdeelt het een reeks in twee gelijke delen. "

Mediaan kan worden gedefinieerd als een punt op de onderstaande verdeling waarbij vijftig procent van de gevallen en waarboven vijftig procent gevallen liggen.

Berekening van mediaan van niet-gegroepeerde gegevens:

In het geval van niet-gegroepeerde gegevens worden de scores in volgorde van grootte gerangschikt. Dan wordt het middelpunt gevonden, wat de mediaan is. In dit proces ontstaan ​​er twee situaties bij de berekening van de mediaan, (a) N is oneven (b) N is zelfs de eerste keer zullen we bespreken hoe mediaan (Mdn) moet worden berekend wanneer N oneven is.

Illustratie:

In een klas 9 hebben studenten volgende cijfers in een vocabulaire-test veiliggesteld. Ontdek de mediaan.

Markeringen-6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9

In niet-gegroepeerde gegevens

Laten we bespreken hoe Mdn wordt berekend wanneer N even is.

Illustratie:

Bereken de Mdn van de volgende gegevens van 10 studenten van een spellingstest in het Engels.

Markeringen = 7, 6, 8, 12, 7. 9, 11, 10, 13, 14

Om het probleem op te lossen, moeten we in volgorde van grootte rangschikken

6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

We passen nu formule 8.6 toe;

Berekening van mediaan uit gegroepeerde gegevens:

We weten dat mediaan een punt is dat de verdeling in twee gelijke helften verdeelt.

De formule voor het achterhalen van mediaan van gegroepeerde gegevens luidt als volgt:

Waar L = ondergrens van de mediaan klasse.

Mediaanklasse is die klasse waarvan de cumulatieve frequentie groter is dan de waarde van N / 2, dwz N / 2> cf (cumulatieve frequentie)

N / 2 = de helft van het totale aantal scores.

F = cumulatieve frequentie van de klasse intern onder de mediaanklasse.

fm = Frequentie van de mediane klasse.

i = Grootte van de interne klassen van de klas.

Stappen om mdn uit gegroepeerde gegevens te berekenen:

Stap 1.

Bereken N / 2, dwz 50% van de verdeling.

Stap 2:

Bereken de cumulatieve frequentie van de verdeling vanaf het lagere einde.

Stap 3:

Ontdek de mdn-klasse. De cumulatieve frequentie van het klasse-interval waarbij N / 2> cf

Stap 4:

Ontdek F de cumulatieve frequentie onder de mdn-klasse.

Stap 5:

Ontdek f _m . en zet alle waarden in de formule.

Illustratie:

Ontdek de mediaan van de verdeling.

Hieronder krijgen de scores van 40 studenten in een wiskundeproef:

L = 59, 5. Omdat de N / 2 dwz 20 is opgenomen in de cumulatieve frequentie van het klasseninterval 60-61 en de exacte limieten van de Ci = 59, 5-61, 5.

F = 17. De cumulatieve frequentie onder de mdn-klasse.

fm = 7. De exacte frequentie van de mdn-klasse.

i = 2. Grootte van het klasse-interval.

Zet nu de waarde in de formule

Mdn van de distributie is 60.63.

Mdn kan ook worden berekend vanaf de bovengrens van de verdeling. De formule om mdn te achterhalen door bovengrenzen te nemen, luidt als volgt.

Waarbij U = de bovengrens van de Mdn-klasse.

F ₁ = de cumulatieve frequentie van het klasse-interval boven de Mdn-klasse.

fm = Frequentie van de mediane klasse.

i = Grootte van het klasse-interval.

Stappen:

In het geval dat Mdn vanaf de bovenlimiet wordt berekend, is het enige verschil dat we de cumulatieve frequentie vanaf het bovenste uiteinde moeten berekenen.

Illustratie:

U = 61, 5. Omdat de cumulatieve frequentie 23 de N / 2 20 omvat.

F = 16. Cumulatieve frequentie van het klasse-interval boven de Mdn-klasse.

fm = 7 frequentie van de mediane klasse.

i = 2

De Mdn is 60, 36.

Er zijn ook enkele uitzonderlijke gevallen van computermediaan. Dit is wanneer de frequentieverdeling openingen bevat en wanneer de klassenintervallen een open einde hebben. Allereerst zullen we bespreken wanneer er lacunes in de frequentieverdeling zijn.

Wanneer er opeenvolgende 0 frequenties zijn op de klasse-intervallen waar Mdn ligt, ontstaat de moeilijkheid om de Mdn-klasse te achterhalen. In dit geval voegen we de 0 frequentie-intervallen toe aan de bovenstaande en onderliggende klassenintervallen.

De volgende illustratie legt het proces duidelijk uit:

Illustratie:

Ontdek de Mdn van de volgende serie:

L = 49, 5. De ondergrens van de Ci waar de Ci groter is dan N / 2.

F = 4 Cf van de Ci onder de Mdn-klasse

f m = 2. De frequentie van de Mdn-klasse.

i = 10. Grootte van de Ci

De waarden in formule 8.7 plaatsen.

Dus de Mdn van de verdeling is 57.

De tweede situatie is dat, wanneer er open-ended klassenintervallen zijn in beide uiteinden. In dit geval kunnen de open uiteinden open worden gehouden of kan deze worden omgezet in de specifieke klassen. Een illustratie wordt hieronder gegeven.

Illustratie:

30 studenten hebben volgende cijfers behaald in een wiskundetest. 4 studenten hebben minder dan 10 punten behaald. 6 studenten hebben cijfers behaald tussen 10 en 20, 10 studenten tussen 20-30, 8 studenten tussen 30 en 40, 7 studenten tussen 40 en 50 en 3 studenten boven de 50. Ontdek de Mdn.

L = 19, 5. Ondergrens van de Mdn-klasse, dwz 20-30.

F = 10. Cf van de Ci onder Mdn-klasse.

fm = 10

i = 10

Dus Mdn van de distributie is 28.5.

Gebruik van mediaan:

1. Mediaan wordt gebruikt wanneer het exacte middelpunt van de verdeling nodig is of het 50% -punt gewenst is.

2. Wanneer extreme scores het gemiddelde op dat moment beïnvloeden, is de mediaan de beste maat voor de centrale tendens.

3. Mediaan wordt gebruikt als het nodig is dat bepaalde scores de centrale tendens beïnvloeden, maar het enige dat bekend is over hen is dat ze boven of onder de mediaan liggen.

4. Mediaan wordt gebruikt wanneer de klassen een open einde hebben of een ongelijke celgrootte hebben.

Verdiensten van mediaan:

1. Het is gemakkelijk te berekenen en te begrijpen.

2. Alle waarnemingen zijn niet vereist voor de berekening ervan.

3. Extreme scores hebben geen invloed op de mediaan.

4. Het kan worden bepaald uit open-ended series.

5. Het kan worden bepaald uit ongelijke klassenintervallen.

Demerits of Median:

1. Het is niet rigide gedefinieerd als gemiddeld, omdat de waarde ervan niet kan worden berekend maar gelokaliseerd.

2. Het bevat niet alle waarnemingen.

3. Het kan niet verder algebraïsch als gemiddeld worden behandeld.

4. Het vereist indeling van de scores of klassenintervallen in oplopende of aflopende volgorde.

5. Soms produceert het een waarde die niet in de reeks voorkomt.

(3) Modus:

Modus is de meest voorkomende score in een verdeling. Als gemiddelde vertegenwoordigt het de meest typische waarde van een serie die bijna samenvalt met de bestaande items. Het wordt nooit beïnvloed door extreme scores, maar door de extreme frequenties van de waarden. Om de modus te bepalen, zijn er verschillende methoden.

Enkele van de belangrijke methoden worden hieronder besproken:

Methoden om de modus te bepalen:

1. Inspectiemethode

2. Groeperingsmethode

3. Empirische relatiemethode

1. Inspectiemethode:

In deze methode wordt de modus bepaald door observatie. Hier wordt de modus bepaald door het observeren van de meest voorkomende score of het klasse-interval waartegen de maximale frequentie staat als de modale klasse. Wanneer twee van dergelijke waarden of klassenintervallen dezelfde frequentie of frequentie hebben, worden beide scores of klassenintervallen als modus genomen. ' En de distributie wordt een bi-modale verdeling genoemd. Als er meer dan twee van dergelijke waarden of klassenintervallen aanwezig zijn, is deze verbonden met een multimodale verdeling.

2. Groeperingsmethode:

Wanneer het waardeverschil tussen de hoogste frequentie en de eerstvolgende hoogste frequentie op dat moment erg laag is, is het niet veilig om de modus in inspectiemethode te bepalen. In dergelijke twijfelgevallen was de methode voor het gebruik van groepering.

In deze methode wordt eerst een groepstabel of een verklaring van groepering van de frequenties opgesteld. Plaats in deze instructie de waarden of klassen van waarden in de linkerkolom en de bijbehorende frequenties in de volgende kolom. In de volgende kolom (2) groepeert u de frequenties in tweeën vanaf de eerste frequentie. Dan in de derde kolom groep de frequenties in tweeën vanaf de 2e frequentie. In de volgende kolom groep de frequenties in drieën vanaf de eerste frequentie.

In de volgende kolom groep de frequenties in drie vanaf de 2e frequentie. In de laatste kolom groep de frequenties in drieën vanaf de derde frequentie. Als de groepering voorbij is, identificeer dan de maximale figuur (len) van elk van de zes kolommen door een cirkel te plaatsen.

De volgende stap is om een ​​analysetabel voor te bereiden om de modale waarde of modale klasse te lokaliseren. In deze tabel worden waarschijnlijke modale waarden weergegeven in de bovenste horizontale lijn onder de verschillende kolommen en de verschillende kolomnummers worden aan de linkerkant van de tabel geplaatst.

De waarden die de maximale gegroepeerde frequenties in de groepstabel weergeven, worden geïdentificeerd door een markering tegen de respectieve kolom. Het aantal van dergelijke markeringen onder de kolommen met waarschijnlijke waarden zal worden opgeteld onderaan deze tabel. De waarschijnlijke waarde die het maximum van een dergelijk totaal weergeeft, wordt geïdentificeerd als de modale waarde van de modale klasse zoals die zich voordoet.

De volgende illustratie zal een beter begrip geven:

Illustratie:

De bovenstaande analysetabel toont dat rond de score 60, maximale clusters, dwz totaal 4. Dus hier is 60 de modale waarde.

Wanneer de gegevens zich in de continue reeks bevinden, kunnen we de modus berekenen door de volgende formule toe te passen:

Waarbij M ₀ = Modus

L ₀ = Ondergrens van de modale klasse

f ₂ = frequentie van de klasse volgende modale klasse.

f ₀ = frequentie van de klasse die aan de modale klasse voorafgaat.

i = Grootte van het klasse-interval.

Illustratie:

Bepaal uit de volgende gegevens de modus:

Oplossing:

Hier bevat klasse-interval 20-25 de hoogste frequentie. Zodat het kan worden beschouwd als de modale klasse

Hier:

3. Empirische relatiemethode:

Dit is de meest effectieve methode om de modus te bepalen. Prof Karl Pearson heeft deze methode overwogen. Prof Pearson heeft ontdekt dat in een matig asymmetrische of scheefgetrokken reeks een relevante relatie bestaat tussen het gemiddelde, de mediaan en de modus. In dergelijke series is de afstand tussen het gemiddelde en de mediaan 1/3 van de afstand tussen het gemiddelde en de modus.

Illustratie:

Ontdek de modus van distributie hierboven gegeven.

Oplossing:

Het gemiddelde van de verdeling is 25.94

De mediaan van de verdeling is 23.83

M ₀ = 3 Median-2 gemiddelde

M ₀ = 3 X 23, 83-2 x 25, 94

= 71.49-51.88

= 19.61 (Ongeveer)

Gebruik van modus:

De modus wordt gebruikt:

(i) Wanneer we een snelle en benaderende maat van centrale neiging willen.

(ii) Als we een zekere mate van centrale neiging willen, die een typische waarde zou moeten zijn. Bijvoorbeeld wanneer we de typische kledingstijl van Indiase vrouwen willen weten, dat wil zeggen de meest populaire kledingstijl. Op deze manier worden de gemiddelde cijfers van een klasse modale markeringen genoemd.

Verdiensten van modus:

1. Mode geeft de meest representatieve waarde van een serie.

2. De modus wordt niet beïnvloed door extreme scores zoals gemiddeld.

3. Het kan worden bepaald aan de hand van een open klasinterval.

4. Het helpt bij het analyseren van kwalitatieve gegevens.

5. De modus kan ook grafisch worden bepaald via histogram of frequentiepolygoon.

6. De modus is gemakkelijk te begrijpen.

minpunten:

1. Modus is niet rigide gedefinieerd als gemiddeld. In bepaalde gevallen kan dit verschillende resultaten opleveren.

2. Het omvat niet alle waarnemingen van een verdeling maar van de concentratie van frequenties van de items.

3. Verdere algebraïsche behandeling kan niet worden gedaan met modus-achtig gemiddelde.

4. In multimodale en bimodale gevallen is het moeilijk te bepalen.

5. Modus kan niet worden bepaald uit ongelijke klassenintervallen.

6. Er zijn verschillende methoden en verschillende formules die verschillende resultaten van de modus opleveren en daarom wordt dit terecht opgemerkt als het meest slecht gedefinieerde gemiddelde.