Sentential Calculus: Symbolisatie, Truth Functions en hun Interdefinability

Sentential Calculus: Symbolisatie, Truth Functions en hun Interdefinability!

Symbolisering - De waarde van speciale symbolen:

Argumenten in het Engels of in een andere natuurlijke taal zijn vaak moeilijk te beoordelen vanwege het vage en dubbelzinnige karakter van de gebruikte woorden, de ambiguïteit van hun constructie, de misleidende idiomen die ze kunnen bevatten, hun potentieel verwarrende metaforische stijl en de afleiding vanwege welke emotionele betekenis zij ook mogen uiten.

Zelfs nadat deze problemen zijn opgelost, resteert nog steeds het probleem van het bepalen van de geldigheid of ongeldigheid van het argument. Om die perifere problemen te vermijden, is het handig om een kunstmatige symbolische taal in te stellen, vrij van dergelijke defecten, waarin uitspraken en argumenten kunnen worden geformuleerd.

Het gebruik van een speciale logische notatie is niet eigen aan de moderne logica. Aristoteles gebruikte ook variabelen om zijn eigen werk te vergemakkelijken. Hoewel het verschil in dit opzicht tussen moderne en klassieke logica niet een soort maar een mate is, is het verschil in graad enorm.

In de ruimere mate waarin de moderne logica zijn eigen speciale technische taal heeft ontwikkeld, is het onmetelijk krachtiger geworden tot een hulpmiddel voor analyse en deductie. De speciale symbolen van de moderne logica helpen ons om met grotere helderheid de logische structuren van proposities en argumenten te vertonen, waarvan de vormen mogelijk worden verdoezeld door de logheid van de gewone taal.

Een verdere waarde van de speciale symbolen van de logicus is het hulpmiddel dat zij geven bij het feitelijke gebruik en de manipulatie van uitspraken en argumenten. De situatie hier is vergelijkbaar met die welke leidde tot de vervanging van Romeinse cijfers door de Arabische notatie. We weten allemaal dat Arabische cijfers duidelijker en gemakkelijker te begrijpen zijn dan de oudere Romeinse cijfers die ze verplaatsten.

Maar de echte superioriteit van Arabische cijfers wordt alleen in de berekening onthuld. Elke student kan eenvoudig 113 met 9 vermenigvuldigen. Maar CXIII vermenigvuldigen met IX is een moeilijkere taak en de moeilijkheid neemt toe naarmate grotere en grotere aantallen worden overwogen. Evenzo wordt het trekken van conclusies en het beoordelen van argumenten sterk vergemakkelijkt door het aannemen van een speciale logische notatie.

Moderne logici denken dat we met behulp van symboliek in het redeneren bijna mechanisch door het oog kunnen redeneren, wat anders de hogere vermogens van de hersenen in het spel zou brengen.

Vanuit dit gezichtspunt, paradoxaal genoeg, gaat logica niet over het ontwikkelen van onze denkvermogens, maar over het ontwikkelen van technieken die ons in staat stellen om sommige taken te volbrengen zonder zo veel na te hoeven denken.

De symbolen voor combinatie, ontkenning en disjunctie:

We verdelen alle uitspraken in twee algemene categorieën, eenvoudig en samengesteld. Een eenvoudige verklaring is er een die geen enkele andere verklaring als component bevat. "Sudhir's honest" is bijvoorbeeld een eenvoudige verklaring. Een samengestelde instructie is een instructie die een andere verklaring als een component bevat. "Sudhir's honest en Sudhir's intelligent" is bijvoorbeeld een samengestelde verklaring, want deze bevat twee eenvoudige uitspraken als componenten.

De notie van een onderdeel van een verklaring is redelijk eenvoudig, hoewel het niet precies hetzelfde is als "een deel dat zelf een verklaring is." Bijvoorbeeld, de laatste vier woorden van de verklaring "De man die Lincoln neerschoot, was een acteur" zou inderdaad kunnen worden beschouwd als een op zichzelf staande verklaring. Maar deze verklaring is geen onderdeel van de grotere verklaring waarvan die vier woorden deel uitmaken.

Voor een deel van een verklaring als onderdeel van die verklaring moet aan twee voorwaarden zijn voldaan: ten eerste moet het onderdeel een zelfstandige verklaring zijn en ten tweede als het onderdeel in de grotere verklaring door een andere verklaring wordt vervangen, het resultaat van die vervanging is zinvol. Hoewel aan de eerste voorwaarde is voldaan in het gegeven voorbeeld, is de tweede voorwaarde niet. Want als het deel "Lincoln een acteur was" wordt vervangen door "er zijn leeuwen in Afrika", is het resultaat de onzinnige uitdrukking "De man die daar is neergeschoten zijn leeuwen in Afrika."

Conjunctie :

Conjunctie is een soort samengestelde verklaring. We kunnen de combinatie van twee uitspraken vormen door het woord "en" tussen hen te plaatsen; de twee verklaringen die zo worden gecombineerd, worden 'conjuncten' genoemd. De samengestelde verklaring 'Sudhir's honest and Sudhir's intelligent' is dus een conjunctie, waarvan de eerste conjunct is 'Sudhir's honest' en waarvan de tweede conjunct is 'Sudhir's intelligent'.

Het woord "en" is een kort en handig woord, maar het heeft andere toepassingen dan dat van het verbinden van uitspraken. Bijvoorbeeld, de verklaring "Nehru en Netaji waren tijdgenoten" is geen conjunctie, maar een eenvoudige verklaring die een relatie uitdrukt. Om een uniek symbool te hebben waarvan de enige functie is om uitspraken conjunctief met elkaar te verbinden, introduceren we de punt "•" als ons symbool voor conjunctie. Dus de vorige conjunctie kan worden geschreven als "Sudhir's eerlijke Sudhir's intelligent." Meer in het algemeen, waar p en q twee willekeurige uitspraken zijn, is hun conjunctie geschreven als p • q.

We weten dat elke bewering waar of onwaar is. Daarom zeggen we dat elke bewering een waarheidswaarde heeft, waarbij de waarheidswaarde van een echte bewering waar is en de waarheidswaarde van een valse bewering onjuist is. Met behulp van dit concept van "waarheidswaarde" kunnen we samenstellingsverklaringen onderverdelen in twee verschillende categorieën, al naar gelang de waarheidswaarde van de samengestelde afrekening geheel of gedeeltelijk wordt bepaald door de waarheidswaarden van zijn componenten, of wordt bepaald door iets anders dan de waarheidswaarden van zijn componenten.

We passen dit onderscheid toe op Conjuncties. De waarheidswaarde van de combinatie van twee uitspraken wordt geheel en volledig bepaald door de waarheidswaarden van zijn twee conjuncten. Als beide conjuncten waar zijn, is de conjunctie waar; anders is het onjuist. Om deze reden wordt gezegd dat een conjunctie een waarheid-functionele samengestelde verklaring is, en de conjuncten ervan zijn waarheidsfunctionele componenten ervan.

Niet elke samengestelde verklaring is echter waarheidsfunctioneel. Voor onze huidige doeleinden definiëren we een component van een samengestelde verklaring als een waarheid-functionele component ervan, op voorwaarde dat, als de component in de verbinding wordt vervangen door verschillende uitspraken met dezelfde waarheidswaarde als elkaar, de verschillende samengestelde verklaringen geproduceerd door die vervangingen zullen ook dezelfde waarheidswaarden hebben als elkaar. En nu definiëren we een samengestelde verklaring als een waarheid-functionele samengestelde verklaring als al zijn componenten waarheidsfunctionele componenten ervan zijn.

Een conjunctie is een waarheid-functionele samengestelde verklaring, dus ons stippen-symbool is een functioneel connectief waarheidsgehalte. Gegeven elke twee verklaringen, /; en q, er zijn maar vier mogelijke sets van waarheidswaarden die ze kunnen hebben. Deze vier mogelijke gevallen, en de waarheidswaarde van de combinatie in elk, kunnen als volgt worden weergegeven:

Waar p waar is en q waar is, is p • q waar.

Waar p waar is en q onwaar, p • q is onwaar.

Waar p onwaar is en q waar is, is p • q onwaar.

Waar p onwaar is en q onwaar, p • q is onwaar.

Als we de waarheidswaarden "waar" en "onwaar" weergeven door de hoofdletters T en F, kan de vaststelling van de waarheidswaarde van een conjunctie door de waarheidswaarden van zijn conjuncten korter en duidelijker worden weergegeven door middel van een waarheid tafel als

Het is handig om eenvoudige uitspraken af te korten met hoofdletters. In het algemeen gebruikt u voor dit doel een brief die ons helpt te onthouden welke uitspraak hij verkort. We moeten dus "Sudhir's honest en Sudhir's intelligent" afkorten als H • I.

Sommige conjuncties waarvan beide conjuncten dezelfde onderwerpstermijn hebben - bijvoorbeeld, "Byron was een groot dichter en Byron was een grote avonturier" - zijn meer kort en misschien natuurlijker gesteld in het Engels door het "en" te plaatsen tussen de predikaattermen en het onderwerp niet herhalen, zoals in "Byron was een grote dichter en een grote avonturier." Voor onze doeleinden beschouwen we de laatste als formuleren.

Dezelfde verklaring als de eerste en symboliseert ofwel onverschillig als P • A. Als beide conjuncten van een conjunctie dezelfde predikaatsterm hebben, zoals in 'Lewis was een beroemde ontdekkingsreiziger en Clark was een beroemde ontdekkingsreiziger', zou de conjunctie weer normaal zijn in het Engels gesteld door de "en" tussen de onderwerptermen te plaatsen en niet het predicaat te herhalen, zoals in "Lewis en Clark waren beroemde ontdekkingsreizigers." Beide formules worden gesymboliseerd als L • C.

Zoals te zien is in de waarheidstabel die het puntsymbool definieert, is een conjunctie waar als en alleen als beide conjuncten waar zijn. Maar het woord "en" heeft een ander gebruik waarin het niet louter een (waarheids-functionele) conjunctie betekent, maar het gevoel heeft van "en vervolgens", dat wil zeggen temporele successie.

Dus de uitspraak "Jones ging het land in New York binnen en ging rechtstreeks naar Chicago" is aanzienlijk en misschien waar, terwijl "Jones rechtstreeks naar Chicago ging en het land binnenging in New York" is nauwelijks te begrijpen.

En er is nogal een verschil tussen "Hij deed zijn schoenen uit en stapte in bed" en "Hij stapte in bed en deed zijn schoenen uit." Bij het beschouwen van dergelijke voorbeelden wordt de nadruk gelegd op de wenselijkheid van een speciaal symbool met een uitsluitend waarheidsfunctioneel conjunctief gebruik.

Opgemerkt moet worden dat de Engelse woorden "maar", "toch", "ook", "nog steeds", "hoewel", "echter", "niettemin", enzovoort, en zelfs de komma en de puntkomma, kan ook worden gebruikt om twee uitspraken samen te voegen tot een enkele samengestelde instructie, en in hun conjunctieve zin kunnen ze allemaal worden weergegeven door het puntsymbool.

Ontkenning:

De ontkenning (of tegenstrijdigheid of ontkenning) van een uitspraak in het Engels wordt vaak gevormd door het invoegen van een "niet" in de oorspronkelijke verklaring. Als alternatief kan men de ontkenning van een uitspraak in het Engels uitdrukken door er de zin "het is onwaar" aan toe te voegen of "dat is niet het geval." Het is gebruikelijk om het symbool te gebruiken (een "krul" of, minder vaak een "tilde") om de ontkenning van een verklaring te vormen. Dus, waar M de verklaring symboliseert: "Alle mensen zijn sterfelijk", de verschillende uitspraken

"Niet alle mensen zijn sterfelijk", "Sommige mensen zijn niet sterfelijk", "Het is onjuist dat alle mensen sterfelijk zijn" en "Het is niet zo dat alle mensen sterfelijk zijn" worden allemaal onverschillig gesymboliseerd als ~ M. Meer in het algemeen, waar p een willekeurige verklaring is, wordt de negatie ervan geschreven p. Het is duidelijk dat de krul een functioneel operator is. De ontkenning van elke ware bewering is onwaar en de ontkenning van een valse verklaring is waar. Dit feit kan heel eenvoudig en duidelijk worden weergegeven aan de hand van een waarheidstabel:

Deze waarheidstabel kan worden beschouwd als de definitie van het ontkenningssymbool.

disjunctie:

De disjunctie (of afwisseling) van twee uitspraken wordt in het Engels gevormd door het woord "of" ertussen in te voegen. De twee samengestelde uitspraken die zo worden gecombineerd, worden "disjuncten" (of "alternatieven") genoemd. Het Engels, woord "of" is dubbelzinnig, met twee verwante maar te onderscheiden betekenissen.

Een daarvan is een voorbeeld in de verklaring: "Er wordt afgezien van premies in geval van ziekte of werkloosheid", omdat het hier duidelijk is dat premies niet alleen voor zieke en voor werklozen, maar ook voor zieken worden verleend. en werklozen.

Deze betekenis van het woord "of" wordt "zwak" of "inclusief" genoemd. Een inclusieve disjunctie is waar in het geval dat de ene of de andere of beide disjuncten waar zijn; alleen als beide disjuncten vals zijn, is hun inclusieve disjunctie onjuist. Het inclusief 'of' heeft het gevoel 'ofwel, mogelijk beide'.

Het woord 'of' wordt ook gebruikt in een sterke of exclusieve betekenis, waarbij de betekenis niet 'ten minste één' maar 'ten minste één en hooguit één' is. Wanneer een restaurant 'salade of dessert' op het dinermenu weergeeft, het is duidelijk bedoeld dat, voor de vermelde prijs van de maaltijd, het diner de een of de ander maar niet beide heeft.

We interpreteren de inclusieve disjunctie van twee uitspraken als een bewering dat ten minste één van de uitspraken waar is en we interpreteren hun exclusieve disjunctie als een bewering dat ten minste een van de beweringen waar is maar niet dat beide waar zijn.

Merk op dat de twee soorten disjuncties een deel van hun betekenissen gemeen hebben. Deze gedeeltelijke gemeenschappelijke betekenis, dat ten minste één van de disjuncten waar is, is de hele betekenis van het inclusieve 'of' en een deel van de betekenis van het exclusieve 'of'.

Waar p en q twee willekeurige uitspraken zijn, is hun zwakke of inclusieve disjunctie ᵛgeschreven p ᵛ q. Ons symbool voor inclusieve disjunctie (een "wig" of, minder vaak, een "vee") is ook een functioneel connectief waarheidsgehalte. Een zwakke disjunctie is alleen false als beide disjuncties vals zijn. We kunnen de wig beschouwen als gedefinieerd door de volgende waarheidstabel:

Het eerste voorbeeldargument in deze sectie was een disjunctieve syllogistiek.

De blinde gevangene heeft een rode hoed of de blinde gevangene heeft een witte hoed.

De blinde gevangene heeft geen rode hoed.

Daarom heeft de blinde gevangene een witte hoed.

Zijn vorm wordt gekenmerkt door te zeggen dat zijn eerste premisse een disjunctie is; de tweede premisse is de ontkenning van de eerste disjunct van de eerste premisse; en de conclusie is hetzelfde als de tweede disjunct van de eerste premisse. Het is duidelijk dat het disjunctieve syllogisme, zo gedefinieerd, geldig is voor elke interpretatie van het woord "of" dat is, ongeacht of een inclusieve of exclusieve disjunctie is bedoeld.

Aangezien het typische geldige argument dat een disjunctie heeft voor een premisse, zoals het disjunctieve syllogisme, geldig is voor beide interpretaties van het woord "of", kan een vereenvoudiging worden bewerkstelligd door het Engelse woord "of" in ons logische symbool "ᵛ" te vertalen. - ongeacht de betekenis van het Engelse woord "or" is bedoeld.

Wanneer beide disjuncten ofwel dezelfde onderwerpsterm 'of dezelfde predikaatsterm hebben, is het vaak natuurlijk om de formulering van hun disjunctie in het Engels te comprimeren door het' of 'zo te plaatsen dat het niet nodig is om het gemeenschappelijke deel van de twee disjuncten te herhalen .

Dus "Smith is de eigenaar of Smith is de manager" kan evengoed worden vermeld als "Smith is de eigenaar of de manager" en beide worden op de juiste manier gesymboliseerd als O v M. En "Rood is schuldig of Butch is schuldig "zou vaak worden vermeld als" Rood of Butch is schuldig ", waarbij één wordt gesymboliseerd als R ᵛ B.

Het woord "tenzij" wordt vaak gebruikt om de disjunctie van twee uitspraken te vormen. Dus: "Je doet het examen slecht tenzij je studeert" wordt correct gesymboliseerd als P ᵛ S. De reden is dat we "tenzij" gebruiken om te bedoelen dat als de ene propositie niet waar is, de andere waar is of zal zijn.

Maar het woord "tenzij" wordt soms gebruikt om meer informatie over te brengen dan dat; het kan betekenen dat de ene of de andere propositie waar is, maar dat niet allebei waar zijn. Dat wil zeggen, "tenzij" kan worden bedoeld als een exclusieve disjunctie.

Zo schreef Jeremy Bentham: "Wat politiek goed is, kan niet moreel slecht zijn, tenzij de regels van de rekenkunde, die goed zijn voor een groot aantal, slecht zijn voor een kleine." Hier betekende de auteur dat tenminste één van de twee disjuncten is waar, maar hij stelde duidelijk ook voor dat ze niet allebei waar kunnen zijn.

Interpunctie:

In het Engels is interpunctie absoluut vereist als gecompliceerde uitspraken duidelijk moeten zijn. Er worden heel veel verschillende leestekens gebruikt, zonder welke veel zinnen zeer dubbelzinnig zouden zijn. In de taal van de symbolische logica zijn diezelfde leestekens - haakjes, haakjes en accolades - even essentieel, omdat in logica samengestelde uitspraken zelf vaak samen worden gecompliceerd tot meer gecompliceerde.

Dus p • q ᵛ r is ambigu. Het kan de combinatie van p met de disjunctie van q met r betekenen, of het kan de disjunctie betekenen waarvan de eerste disjunct is de conjunctie van p en q en wiens tweede disjunct r is. We maken onderscheid tussen deze twee verschillende zintuigen door de gegeven formule te punctueren als p • (q ᵛ r) of anders als (p • q) ᵛ r.

Dat de verschillende manieren om de oorspronkelijke formule te accentueren een verschil maken, kan worden gezien door het geval te overwegen waarin p fout is en q en r beide waar zijn. In dit geval is de tweede interpunctuele formule waar (aangezien de tweede disjunct waar is), terwijl de eerste false is (aangezien de eerste conjunct onjuist is).

Hier maakt het verschil in interpunctie het verschil tussen waarheid en leugen, want verschillende leestekens kunnen verschillende waarheidswaarden aan de dubbelzinnige p • q ᵛ r toewijzen. De ontkenning van een disjunctie wordt vaak gevormd door het gebruik van de uitdrukking "noch-noch". Dus de uitspraak "Shakespeare of Bernard Shaw was de grootste toneelschrijver" kan door de verklaring worden tegengesproken. "Noch Shakespeare, noch Bernard Shaw was de grootste toneelschrijver." De disjunctie zou worden gesymboliseerd als S v B, en zijn ontkenning als ofwel ~ (S ᵛ B) of als (~ S) • (~ B).

Gezien een reeks leestekens voor onze symbolische taal, is het mogelijk om niet alleen conjuncties, negaties en zwakke disjuncties te schrijven, maar ook een exclusieve disjunctie. De exclusieve disjunctie van p en q beweert dat ten minste één van beide waar is, maar niet dat beide waar zijn, wat heel eenvoudig is geschreven als (p ᵛ q) '~ (p • q).

Elke samengestelde verklaring opgebouwd uit eenvoudige uitspraken die alleen de waarheidsfunctionele connectieven gebruikt - punt, krul en wig - heeft zijn waarheidswaarde volledig bepaald door de waarheid of onwaarheid van de eenvoudige samenstellin- gen.

Als we de waarheidswaarden van eenvoudige uitspraken weten, kan de waarheidswaarde van elke waarheidsfunctionele verbinding gemakkelijk worden berekend. Als A en B bijvoorbeeld waar zijn en X en Y valse verklaringen zijn, berekenen we de waarheidswaarde van de samengestelde instructie ~ [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B) als volgt. Omdat X false is, is de conjunctie A • X onwaar en dus is de negatie ~ (A • X) waar. B is waar; dus zijn ontkenning ~ B is fout, en aangezien Y ook onwaar is, is de disjunctie van Y met ~ B, Y ᵛ ~ B, onwaar.

De haakjesformule [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B)] is de combinatie van een waar met een onjuiste bewering en is daarom onwaar. Vandaar dat zijn ontkenning, die de hele verklaring is, waar is. Zo'n stapsgewijze procedure stelt ons altijd in staat om de waarheidswaarde van een samengestelde verklaring te bepalen op basis van de waarheidswaarden van de componenten.

Voorwaardelijke verklaringen en materiële implicaties:

Wanneer twee uitspraken worden gecombineerd door het woord 'if' vóór de eerste te plaatsen en het woord 'then' tussen hen in te voegen, is de resulterende samengestelde verklaring een voorwaardelijke (ook wel een 'hypothetische', een 'implicatie' of een 'implicatieve verklaring' .) In een voorwaardelijke, de componentverklaring die volgt op de 'if' wordt het 'antecedent en de componentverklaring die volgt op de' then 'is de' consequent '.

Bijvoorbeeld: "Als meneer Jones de buurman van de rembrandij is, dan verdient meneer Jones precies drie keer zoveel als de remplaçant" is een voorwaardelijke verklaring waarin 'Mr Jones de buurman van de bereman is' het antecedent is en 'Mr. Jones verdient precies drie keer zoveel als de rem 'is de consequent.

We introduceren nu een speciaal symbool om deze, gemeenschappelijke gedeeltelijke betekenis van de "als-dan" zin weer te geven. We definiëren het nieuwe symbool "z כ" (een "hoefijzer" genoemd) door p כ q te nemen als een afkorting van ~ (p • q). De exacte betekenis van het "3" -symbool kan worden aangegeven door middel van een waarheidstabel:

Hier zijn de eerste twee kolommen de gidskolommen; ze leggen eenvoudig alle mogelijke combinaties van waarheid en onwaarheid voor p en q op. De derde kolom wordt ingevuld door verwijzing naar de tweede, de vierde door verwijzing naar de eerste en derde, de vijfde door verwijzing naar de vierde, en de zesde is per definitie identiek aan de vijfde kolom.

Het symbool "כ" moet niet worden beschouwd als aanduiding van de betekenis van "als-dan", of staan voor de relatie van implicatie. Dat zou onmogelijk zijn, want er is geen enkele betekenis van "als-dan"; er zijn verschillende betekenissen. Maar het symbool "z כ" is volledig ondubbelzinnig. Wat pdq afkorting is ~ (p • ~ q), waarvan de betekenis is opgenomen in de betekenissen van elk van de verschillende soorten implicaties die in overweging worden genomen, maar die niet de volledige betekenis van een van hen vormt.

We kunnen het symbool "כ" beschouwen als een andere soort implicatie, en het is raadzaam om dat te doen, omdat een handige manier om p כ q te lezen is "als p dan q." Maar het is niet hetzelfde soort implicatie als een van de eerder genoemde. Het wordt 'materiële implicatie' genoemd door logici, die met het geven van een speciale naam toegeven dat het een speciale notie is, niet te verwarren met andere, meer gebruikelijke implicaties.

Geen "echte verbinding" tussen antecedent en consequent wordt gesuggereerd door een materiële implicatie. Alles wat het beweert is dat het feitelijk niet zo is dat het antecedent waar is als het consequent onjuist is. Opgemerkt moet worden dat het materiële implicatiesymbool een functioneel connectief feit is, zoals de symbolen voor conjunctie en disjunctie. Als zodanig wordt het gedefinieerd door de waarheidstabel.

Zoals zo gedefinieerd door de waarheidstabel, heeft het hoefijzersymbool "כ" enkele kenmerken die op het eerste gezicht vreemd lijken. De bewering dat een vals antecedent materieel een werkelijke consequentie impliceert, is waar; en de bewering dat een vals antecedent materieel een onjuist gevolg impliceert, is ook waar.

Truth Functions en hun Inter Definition Statement Forms, Material Equivalence en Logical Equivalence:

Er is een exacte parallel tussen de relatie van argument tot argumentatievorm, enerzijds, en de relatie tussen verklaring en verklaringsvorm, anderzijds. De definitie van "verklaringsformulier" maakt dit duidelijk: een verklaringsformulier is elke reeks symbolen die verklaringsvariabelen bevatten, maar geen instructies, zodat wanneer statements worden vervangen door de instructievariabelen - dezelfde verklaring wordt vervangen door dezelfde verklaringsvariabele overal - resultaat is een verklaring.

Pqq is dus een verklaringsformulier, want wanneer statements worden vervangen door de variabelen p en q, resulteert dit in een statement. Omdat de resulterende uitspraak een disjunctie is, wordt pvq een "disjunctieve verklaringsvorm" genoemd. Analoog hieraan worden p • q en p כ q "conjunctie" en "voorwaardelijke verklaringsvormen" genoemd, en ~ p wordt een "ontkenningsvorm" of " weigeringsvorm. "

Net zoals elk argument van een bepaalde vorm een vervangingsinstantie is van die argumentvorm, zo wordt van elke verklaring van een bepaalde vorm gezegd dat het een vervangingsinstantie is van dat verklaringsformulier. En net zoals we de specifieke vorm van een gegeven argument onderscheiden, onderscheiden we de specifieke vorm van een gegeven verklaring als die verklaring, vorm waaruit de verklaring resulteert door een verschillende eenvoudige verklaring te vervangen door elke verschillende verklaringsvariabele. Zo is pvq de specifieke vorm van de verklaring: "De blinde gevangene heeft een rode hoed of de blinde gevangene heeft een witte hoed."

Tautologe, tegenstrijdige en contingente verklaringsformulieren:

Het is volkomen natuurlijk om te voelen dat, hoewel de verklaringen "Lincoln werd vermoord" (gesymboliseerd als L) en "Lincoln werd vermoord of anders was hij niet" (gesymboliseerd als L v ~ L) beide waar zijn, ze waar zijn " op verschillende manieren "of" verschillende soorten "van waarheid hebben. Evenzo is het volkomen natuurlijk om te voelen dat, hoewel de verklaringen "Washington werd vermoord" (gesymboliseerd als W) en "Washington werd zowel vermoord als niet vermoord" (gesymboliseerd als W • ~ W) beide onjuist zijn, ze vals zijn "in verschillende manieren "of hebben" verschillende soorten "valsheid. Hoewel we niet doen alsof we een of andere psychologische verklaring van deze 'gevoelens' geven, kunnen we toch bepaalde logische verschillen aanwijzen waar ze waarschijnlijk geschikt voor zijn.

De verklaring L is waar en de uitspraak W is onwaar; dit zijn historische feiten. Er is geen logische noodzaak voor hen. Gebeurtenissen kunnen zich anders hebben voorgedaan en de waarheidswaarden van verklaringen als L en W moeten worden ontdekt door een empirische studie van de geschiedenis.

Maar de uitspraak L v ~ L, hoewel waar, is geen waarheid uit de geschiedenis. Er is hier logische noodzaak: gebeurtenissen hadden niet zo kunnen zijn dat ze vals waren, en de waarheid ervan kan onafhankelijk van een bepaald empirisch onderzoek worden gekend. De uitspraak L v ~ L is een logische waarheid, een formele waarheid, waarachtig alleen uit de vorm ervan. Het is een substitutie-exemplaar van een verklaring van alle substitutiegevallen die echte uitspraken zijn.

Een verklaring daarvan heeft alleen echte substitutiemomenten een 'tautologe verklaringsvorm' of een 'tautologie'. Om aan te tonen dat de verklaring van pv ~ p tautologie is; we construeren de volgende waarheidstabel:

Er is slechts één begin- of richtkolom voor deze waarheidstabel, omdat het formulier in kwestie slechts één verklaringsvariabele bevat. Bijgevolg zijn er slechts twee rijen, die alle mogelijke vervangingsinstanties vertegenwoordigen.

Er zijn alleen T's in de kolom onder het betreffende verklaringformulier, en dit feit laat zien dat al haar substitutie-exemplaren waar zijn. Elke bewering die een substitutiegebeurtenis is van een tautologe verklaringsvorm is waar in zijn vorm en wordt zelf gezegd tautoloog te zijn, of een tautologie.

Een verklaring hiervan heeft alleen maar valse substituties, is 'tegenstrijdig', of 'contradictie', en is logisch onjuist. De verklaring van p • ~ p is tegenstrijdig, omdat in de waarheidstabel alleen F's eronder voorkomen, wat betekent dat al haar substitutie-exemplaren vals zijn. Elke bewering, zoals W • ~ W, die een substitutiegeval is van een in zichzelf tegenstrijdige verklaringsvorm, is vals in zijn vorm en wordt zelf gezegd tegenstrijdig of tegenstrijdig te zijn.

Statement-formulieren die zowel echte als valse verklaringen hebben in hun substitutiegevallen, worden "contingent statement forms" genoemd. Elke statement waarvan de specifieke vorm contingent is, wordt een "contingent statement" genoemd. Dus p, ~ p, p • q, pvq en p כ q zijn alle voorwaardelijke verklaringsformulieren. En dergelijke uitspraken als L, L, L • W, L ᵛW en L כ W zijn voorwaardelijke uitspraken, omdat hun waarheidswaarden afhankelijk zijn van of afhankelijk zijn van hun inhoud in plaats van alleen op hun vormen.

Niet alle verklaringsvormen zijn zo duidelijk tautologisch of in tegenspraak met of contingent als de eenvoudige voorbeelden die worden aangehaald. Het verklaringsformulier [(p כ q) כ p] כ 3 p is bijvoorbeeld helemaal niet duidelijk, hoewel uit de waarheidstabel blijkt dat het een tautologie is. Het heeft zelfs een speciale naam, 'de wet van Peirce'.

Materiële gelijkwaardigheid:

Van twee uitspraken wordt gezegd dat ze 'materieel equivalent' of 'equivalent in waarheidswaarde' zijn, wanneer ze beide waar of beide onjuist zijn. Dit begrip wordt uitgedrukt door het symbool "≡". Materiële equivalentie is een waarheidsfunctie en kan worden gedefinieerd door de volgende waarheidstabel:

Wanneer twee verklaringen materieel equivalent zijn, impliceren ze elkaar materieel. Dit wordt eenvoudig geverifieerd door een waarheidstabel. Vandaar dat het symbool "=" kan worden gelezen "als en alleen als." Een verklaring van het formulier p = q wordt een "bi-conditioneel" genoemd en de vorm wordt ook een "bi-conditional" genoemd.

Logische equivalentie:

Twee uitspraken zijn logisch equivalent wanneer (de verklaring van) hun materiële gelijkwaardigheid een tautologie is. Dus het "principe van dubbele ontkenning", uitgedrukt als de biconditionale p ≡ ~~ p, is tautoloog gebleken door de volgende waarheidstabel:

wat de logische gelijkwaardigheid van p ≡ ~ ~ p bewijst.

Het verschil tussen logische equivalentie en materiële gelijkwaardigheid is erg belangrijk. Twee uitspraken zijn logisch gezien alleen equivalent wanneer het absoluut onmogelijk is dat de twee uitspraken verschillende waarheidswaarden hebben.

Logisch equivalente uitspraken hebben daarom dezelfde betekenis en kunnen in elke waarheidsfunctionele context in de plaats komen van elkaar zonder de waarheidswaarde van die context te veranderen. Maar twee uitspraken zijn materieel equivalent (zelfs als ze geen feitelijke verbanden met elkaar hebben) als ze toevallig dezelfde waarheidswaarde hebben. Uitspraken die slechts materieel equivalent zijn, mogen daarom zeker niet voor elkaar worden gebruikt.

De Theorems van De Morgan:

Er zijn twee logische equivalenties (dwz logisch echte bi-condities) van een of ander intrinsiek belang en belang die de onderlinge verbanden tussen conjunctie, disjunctie en ontkenning uitdrukken. Omdat de disjunctie pvq alleen beweert dat ten minste één van zijn twee disjuncten waar is, wordt dit niet tegengesproken door te beweren dat ten minste één vals is, maar alleen door te beweren dat beide onjuist zijn. Dus het beweren van de ontkenning van de disjunctie pvq is logisch equivalent aan het beweren van de conjunctie van de ontkenningen van p en van q. In symbolen hebben we de bi-conditionele ~ (pvq) ≡ (~ p • ~ q), waarvan de logische waarheid wordt vastgesteld door de volgende waarheidstabel:

Evenzo, omdat beweren dat de conjunctie van p en q beweert dat beide waar zijn, deze bewering tegenspreken, hoeven we slechts te beweren dat tenminste één vals is. Dus het beweren van de ontkenning van de conjunctie p • q is logisch equivalent aan het beweren van de disjunctie van de ontkenningen van p en van q. In symbolen hebben we de bi-conditionele ~ (p • q) ≡ (~ p ᵛ ~ q), wat gemakkelijk kan worden bewezen als een tautologie.

Deze twee tautologe tweeklachten zijn bekend als de stellingen van De Morgan, verklaard door de wiskundige en logicus Augustus De Morgan (1806-1871). De stellingen van De Morgan kunnen een gecombineerde formulering in het Engels als volgt krijgen

De ontkenning van de {Disjunctie / conjunctie} van twee stellingen komt logisch overeen met de {Conjunctie / disjunctie} negaties van de twee stellingen.

Truth Tables:

Om een argumentvorm te testen, onderzoeken we alle mogelijke vervangingsinstanties ervan om te zien of een van deze echte uitgangspunten en een verkeerde conclusie heeft. Natuurlijk heeft elke argumentatievorm oneindig veel vervangingsinstanties, maar we hoeven ons geen zorgen te maken dat we ze één voor één moeten onderzoeken. Omdat we alleen geïnteresseerd zijn in de waarheid of onwaarheid van hun premissen en conclusies, moeten we alleen de waarheidswaarden in overweging nemen.

De argumenten die ons hier bezighouden, bevatten alleen eenvoudige uitspraken en samengestelde uitspraken die zijn opgebouwd uit eenvoudige uitspraken door middel van de waarheidsfunctionele connectieven gesymboliseerd door de punt, krul, wig en hoefijzer.

Daarom verkrijgen we alle mogelijke vervangingsinstanties waarvan de premissen en conclusies verschillende waarheidswaarden hebben door alle mogelijke verschillende ordeningen van waarheidswaarden te onderzoeken voor de stellingen die kunnen worden vervangen door de verschillende stellingvariabelen in de te testen argumentvorm.

Wanneer een argumentformulier slechts twee verschillende sturingsvariabelen bevat, p en q, zijn al zijn substitutie-exemplaren het resultaat van ofwel het vervangen van echte instructies voor zowel p en q, of een echte verklaring voor p en een valse voor q, of een valse een voor p en een echte voor q, of valse verklaringen voor zowel p als q. Deze verschillende gevallen worden het gemakkelijkst samengesteld in de vorm van een waarheidstabel. Om de geldigheid van het argumentformulier te bepalen

Elke rij van deze tabel vertegenwoordigt een hele klasse substitutiegebeurtenissen. De T's en F's in de twee begin- of gidskolommen vertegenwoordigen de waarheidswaarden van de instructies die worden vervangen door de variabelen p en q in de argumentvorm. We vullen de derde kolom in door terug te verwijzen naar de initiële of gidskolommen en de definitie van het hoefijzersymbool.

De derde kolomkop is de eerste 'premisse' van de argumentvorm, de tweede kolom is de tweede 'premisse' en de eerste kolom is de 'conclusie'. Bij het onderzoeken van deze waarheidstabel, vinden we dat in de derde rij er zijn T's onder beide premissen en een F onder de conclusie, wat aangeeft dat er ten minste één vervangingsinstantie van deze argumentvorm is die een ware premisse en een verkeerde conclusie heeft.

Deze rij is voldoende om aan te geven dat het argumentformulier ongeldig is. Elk argument van deze specifieke vorm (dat wil zeggen, elk argument waarvan de specifieke argumentvorm de gegeven argumentvorm is) zou de dwaling van het bevestigen van de consequent begaan, aangezien de tweede premisse de consequentie bevestigt van de conditionele eerste premisse ervan.

Enkele veel voorkomende geldige argumentformulieren:

Disjunctive Syllogism:

Het is een van de eenvoudigste geldige argumentvormen die vertrouwt op het feit dat, in elke echte disjunctie, minstens één van de disjuncten waar moet zijn. Daarom, als een van beide onjuist is, moet de andere waar zijn. We symboliseren de Disjunctive Syllogism als volgt:

Ook hier vertonen de initiële kolommen of gidskolommen alle mogelijke verschillende waarheidswaarden van stellingen die kunnen worden vervangen door de variabelen p en q. We vullen de derde kolom in door terug te verwijzen naar de eerste twee en de vierde door te verwijzen naar de eerste alleen.

Nu is de derde rij de enige rij waarin T's verschijnen onder beide premissen (de derde en vierde kolom), en daar verschijnt ook een T onder de conclusie (de tweede kolom). De waarheidstabel laat dus zien dat de argumentvorm geen vervangingsinstantie heeft met een ware premisse en een valse conclusie en bewijst daarmee de validiteit van het argument dat wordt getest.

Modus Ponens:

Het eenvoudigste type van intuïtief geldige argumenten met een voorwaardelijke verklaring wordt geïllustreerd door het argument:

Als er de zon is, is er licht.

Er is de zon.

Er is licht.

De specifieke vorm van dit argument, bekend als modus ponens, is

Hier worden de twee premissen voorgesteld door de derde en eerste kolom, en de conclusie wordt vertegenwoordigd door de tweede. Alleen de eerste rij staat voor substitutie-exemplaren waarin beide premissen waar zijn en de T in de tweede kolom laat zien dat in deze argumenten de conclusie ook geldt. Deze waarheidstabel stelt de geldigheid vast van elk argument van formulier modus ponens.

Modus Tollens:

We hebben gezien dat als een voorwaardelijke verklaring waar is, als het consequent onjuist is, het antecedent onjuist moet zijn. Deze redenering wordt heel vaak gebruikt om de onwaarheid van een of andere stelling in twijfel te trekken. Op de plaats van een ongeluk kan de politie zo redeneren:

Als er de zon is, is er licht.

Er is geen licht.

Er is geen zon.

Het argument zou worden gesymboliseerd als:

De geldigheid van deze argumentvorm, genaamd modus tollens, kan worden weergegeven in de volgende waarheidstabel

Ook hier is er geen vervangingsinstantie, geen regel, waarop de premissen, p כ q en ~ q, beide waar zijn en de conclusie, ~ p, onwaar is.

Hypothetisch Syllogisme:

Een ander veelvoorkomend type van intuïtief geldig argument bevat alleen voorwaardelijke uitspraken. Hier is een voorbeeld:

Als een man oprecht werkt, is hij succesvol.

Als de mens succesvol is, krijgt hij geluk.

Als een man oprecht werkt, krijgt hij geluk.

De specifieke vorm van dit argument is

Omdat dit argument, "Hypothetisch Syllogisme", drie verschillende variabelen bevat, moet de waarheidstabel hier drie begin- of gidskolommen hebben en acht rijen nodig hebben voor de lijst van de mogelijke vervangingsinstanties. Naast de eerste kolommen zijn drie extra kolommen vereist: twee voor de premissen, de derde voor de conclusie. De tabel wordt weergegeven als

Bij het samenstellen vullen we de vierde kolom in door terug te verwijzen naar de eerste en tweede, de vijfde door verwijzing naar de tweede en derde en de zesde door verwijzing naar de eerste en derde kolom. Als we de voltooide tabel onderzoeken, zien we dat de premissen alleen waar zijn in de eerste, vijfde, zevende en achtste rij en dat in al deze conclusies de conclusie ook waar is. Deze waarheidstabel stelt de geldigheid van het argumentformulier vast en bewijst dat de hypothetische syllogistiek ook geldig blijft wanneer de voorwaardelijke uitspraken ervan worden vertaald door middel van het hoefijzersymbool.

Formeel bewijs van geldigheid:

In theorie zijn waarheidstabellen voldoende om de geldigheid van elk argument van het hier besproken algemene type te testen. Maar in de praktijk worden ze onhandelbaar naarmate het aantal deelstatements toeneemt. Een efficiëntere methode om de geldigheid van een uitgebreid argument vast te stellen, is de conclusie uit de uitgangspunten af te leiden uit een reeks elementaire argumenten waarvan elk bekend is dat ze geldig zijn. Deze techniek komt redelijk goed overeen met de gewone argumentatiemethoden.

Overweeg bijvoorbeeld het volgende argument:

Als Sapna werd genomineerd, ging ze naar Delhi.

Als ze naar Delhi ging, voerde ze daar campagne.

Als ze daar campagne voerde, ontmoette ze Harish.

Sapna heeft Harish niet ontmoet.

Ofwel Sapna was genomineerd of iemand die meer in aanmerking kwam, werd geselecteerd.

Daarom is iemand die meer in aanmerking komt geselecteerd.

De geldigheid ervan kan intuïtief voor de hand liggend zijn, maar laten we eens kijken naar de kwestie van het bewijs. De discussie zal worden vergemakkelijkt door het argument in onze symboliek te vertalen als

Om de geldigheid van dit argument vast te stellen aan de hand van een waarheidstabel, is er één nodig met tweeëndertig rijen, omdat er vijf verschillende eenvoudige beweringen bij betrokken zijn. Maar we kunnen het gegeven argument geldig bewijzen door de conclusie uit de premissen af te leiden door een reeks van slechts vier elementaire geldige argumenten.

Van de eerste twee premissen A כ B en B כ C leiden we geldig A כ C af met een hypothetisch syllogisme. Van A כ C en de derde premisse C כ D leiden we geldig A כ D af met een ander hypothetisch syllogisme. Van A כ D en de vierde premisse ~ D trekken we ~ A met modus tolgeld. En van ~ A en de vijfde premisse A ᵛ E, door een disjunctief syllogisme, leiden we geldig E af, de conclusie van het oorspronkelijke argument.

Dat de conclusie kan worden afgeleid uit de vijf premissen van het oorspronkelijke argument met vier elementaire geldige argumenten, bewijst dat het oorspronkelijke argument geldig is. Hier vormen de elementaire geldige argumenten hypothetisch syllogisme (HS), modus tollens (MT) en disjunctief syllogisme (DS) worden gebruikt als regels van gevolgtrekking in overeenstemming waarvan conclusies geldig worden afgeleid of afgeleid van premissen.

Een meer formeel bewijs van geldigheid wordt gegeven door de premissen en de uitspraken die we daaruit afgeven in een enkele kolom te schrijven; en vertrekken in een andere kolom, rechts van elke dergelijke verklaring, de "rechtvaardiging", of de reden die we kunnen geven om deze in het bewijs op te nemen.

Het is handig om eerst alle premissen op te sommen en de conclusie een beetje opzij te schrijven, gescheiden door een diagonale lijn van de premissen. De diagonale lijn markeert automatisch alle bovenstaande instructies als premisses. Als alle uitspraken in de kolom zijn genummerd, bestaat de "rechtvaardiging" voor elke stelling uit de nummers van de voorgaande beweringen waaruit deze is afgeleid, samen met de afkorting voor de regel van inferentie waarmee deze wordt gevolgd. Het formele bewijs van het bovenstaande argument is geschreven als:

We definiëren een formeel bewijs dat een gegeven argument geldig is als een opeenvolging van instructies die elk een premisse van dat argument is of uit voorgaande verklaringen van de reeks volgt door een elementair geldig argument, zodat de laatste uitspraak in de reeks is de conclusie van het argument waarvan de geldigheid wordt bewezen.

We definiëren een elementair geldig argument als een argument dat een substitutiegebouw is van een elementaire geldige argumentvorm. Een punt dat moet worden benadrukt, is dat elke vervanging van een elementaire geldige argumentvorm een elementair geldig argument is. Dus het argument

is een elementair geldig argument omdat het een substitutie-instantie is van de elementaire geldige argumentvorm modus ponens (MP). Het is het resultaat van

door A • B te vervangen door p en C ≡ (D v E) voor q en is daarom van die vorm, hoewel modus ponens niet de specifieke vorm van het gegeven argument is.

Modus ponens is inderdaad een zeer elementaire, geldige argumentvorm, maar welke andere geldige argumentvormen moeten worden opgenomen als regels van inferentie? We beginnen met een lijst van slechts negen regels van gevolgtrekking die kunnen worden gebruikt bij het opstellen van formele bewijzen van geldigheid:

Regels van inferentie:

1. Modus Ponens (MP)

p q כ